HDU----(4549)M斐波那契数列(小费马引理+快速矩阵幂)

时间：2023-03-09 04:51:58
HDU----(4549)M斐波那契数列(小费马引理+快速矩阵幂)

M斐波那契数列

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Problem Description
M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input
输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）
Output
对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。
Sample Input
01 0
6 10 2
Sample Output
0
60
Source
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ---》 F[n] = F[n-2]^2* F[n-3]^1----》F[n] = F[n-3]^3* F[n-4]^2----》
 F[n] = F[n-4]^5* F[n-5]^3  -----......--->F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];    //我们可以的到处a[n]为一个斐波那契数列
但是对于这样一个式子：
      F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];  我们依旧还是不好处理哇，毕竟n<1e9这么大，这样我们不妨引用小费马引理处理....
    首先我们应该知道小费马引理的定义： 
                           形如：  (a^b)mod c = a^(b mod (c-1) ) mod c;
    这样，我们就可以找到这样一个方法来做这道题：
                  F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];   可以写成  F[n] = (F[2]^(a[n-1]%(mod-1))* F[1]^(a[n-2]%(mod-1)))%mod;
     可以明确的是，F[2],F[1]我们事先已经知道，所以问题在于求解a[n-1],a[n-2]由于数据巨大，为了提升效率我们可以使用矩阵快速幂来求解
     对于  a[n]=a[n-1]+a[n-2]  a[0]=a[1]=1;  这样的斐波那契数列，我们应该不难构造出它的矩阵来
      |a[n]   |   =|1,1|^(n-2)  |a[n-1]|
      |a[n-1]|     |1,0|*          |a[n-2]|
得到了 a[n],a[n-1]之后我们在使用一个快速幂求解 a^b 即可。
代码：
 //#define LOCAL

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #define LL __int64

 using namespace std;

 const int mod =;

 LL mat[][];

 LL ans[][];

 LL n,aa,bb;

 void Matrix(LL a[][],LL b[][])

 {

     LL cc[][]={};

     for(int i=;i<;i++)

     {

       for(int j=;j<;j++)

       {

           for(int k=;k<;k++)

         {

             cc[i][j]=(cc[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%(mod-);

         }

       }

     }

     for(int i=;i<;i++)

     {

       for(int j=;j<;j++)

       {

         a[i][j]=cc[i][j];

       }

     }

 }

 void pow(LL w)

 {

   mat[][]=mat[][]=mat[][]=;

   mat[][]=;

   while(w>)

   {

     if(w&) Matrix(ans,mat);

      w>>=;

      if(w==)break;

      Matrix(mat,mat);

   }

 }

 LL pow_int(LL a,LL b)

 {

     LL ans=;

     while(b>)

     {

      if(b&){

          ans*=a;

          ans%=mod;

      }

       b>>=;

       if(b==)break;

       a*=a;

       a%=mod;

     }

    return ans;

 }

 void input(LL w)

 {

      ans[][]=ans[][]=;

      ans[][]=ans[][]=;

      pow(w-);

      LL fn_2=(ans[][]+ans[][])%(mod-);

      pow();

      LL fn_1=(ans[][]+ans[][])%(mod-);

      printf("%I64d\n",(pow_int(aa,fn_2)*pow_int(bb,fn_1))%mod);

 }

 int main()

 {

   #ifdef LOCAL

    freopen("test.in","r",stdin);

   #endif

   while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&aa,&bb,&n)!=EOF)

      if(n==)printf("%I64d\n",aa);

      else if(n==)printf("%I64d\n",bb);

      else

         input(n);

  return ;

 }

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