expectation

Description

给出一棵带权值的树，我们假设从某个节点出发，到目标节点的时间为两个节点之间的最短路。由于出发节点不好选取，所以选在每个节点都有一定的概率，现在我们要求从出发点到目标节点的期望时间（即每个节点到目标点的时间*概率）。为了避免精度错误，直接给出了每个节点所占的权值，那么每个节点的概率就是节点权值/总权值和（注意查看实际输出要求）。

Input

输入第一行为一个正整数 n 表示树的节点数目，节点编号从 1 到 n。

接下来一行 n 个整数 vi，表示第 i 个节点所占的权值(<=20)。紧接着 n-1 行，每行三个数 x， y， d (d<=20） ,表示经过 x 和 y 之间的树边所需花费的时间为 d。

接下来一行有一个整数 q，表示询问数目。紧接着 q 行，每行一个整数，表示目的节点。

30%的数据： n<=20,q=1

50%的数据： n<=1000， q<=10

80%的数据： n<=10000,q<=1000 100%的数据： n<=100000， q<=n

Output

输出 q 行，为了避免精度问题，所以要求你把期望时间*节点的总权值和作为答案，这个整数可能很大，所以只要对 707063423 取余后输出就可以了。

Sample Input

51 1 1 1 11 2 21 3 11 4 33 5 21 3

Sample Output

思路

每个节点保存两个值，一个是其子树的点权和（包括自身节点） nodesum[ ]，一个是其子树各点到它的期望时间和 dp[ ]。那么我们假设根节点为 u ，其仅有一个儿子 v ， u 到 v 的距离为 w ，而 v 有若干儿子节点，那么 dp[v] 表示 v 的子树各点到 v 的期望时间和，那么各个节点到达 u 的期望时间和便可以这样计算： dp[u] = dp[v] + nodesum[ v ] *w; （式子的理解，v 的一个儿子节点为 f，那么 f 到达 u 的期望时间为 (sum[ f ->v] + sum [v- > u])*val[f] （其中 val[v] 为 f 的权值），dp[v] 包含了 sum[f->v]*val[f]，所以也就是式子的分配式推广到各个子节点计算出来的和），求出了 nodesum[ ] 数组和 dp[ ] 数组后，对于 q 个询问可以快速的求出。我们已经知道了各个节点到达根节点的期望时间和，那么从根节点开始递推下来可以得到各个点的期望时间和。另开一个数组表示每个节点的期望时间和，那么 dissum[u] = dp[u]。以 u 的儿子 v 为例， v 的子节点到 v 不必经过 v->u 这条路径，因此 dissum[u] 多了 nodesum[v] * w，但是对于不是 v 的子节点的节点，只到达了 u ，因此要到达 v 必须多走 u->v 这条路径，因此 dissum[u] 少了 ( totaval - nodesum[v] ) * w) ,所以 dissum[v] = dissum[u] - nodesum[v] * w + (total - nodesum[v] ) * w，按照这个方法递推下去就可以得到各个点的期望时间和。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
struct Edge{
    int u,v,w,next;
}edge[maxn<<1];
int tot = 0,totval= 0,head[maxn],val[maxn],nodesum[maxn],dissum[maxn],dp[maxn];  

void addedge(int u,int v,int w)
{
    edge[tot].u = u,edge[tot].v = v,edge[tot].w = w,edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}  

void dfs1(int u,int fa)
{
    int i;
    dp[u] = 0,nodesum[u] = val[u];
    for (i = head[u];~i;i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].v,w = edge[i].w;
        if (v == fa)    continue;
        dfs1(v,u);
        dp[u] += dp[v] + nodesum[v]*w;
        nodesum[u] += nodesum[v];
    }
}  

void dfs2(int u,int fa)
{
    int i;
    for (i = head[u];~i;i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].v,w = edge[i].w;
        if (v == fa)    continue;
        dissum[v] = dissum[u] - nodesum[v]*w + (totval - nodesum[v])*w;
        dfs2(v,u);
    }
}  

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int N,i,u,v,w,m,tmp;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d",&N);
    for (i = 1;i <= N;i++)   scanf("%d",&val[i]),totval += val[i];
    for (i = 1;i < N;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
        addedge(v,u,w);
    }
    dfs1(1,1);
    dissum[1] = dp[1];
    dfs2(1,1);
    scanf("%d",&m);
    for (i = 1;i <= m;i++)
    {
        scanf("%d",&tmp);
        printf("%d\n",dissum[tmp]);
    }
    return 0;
}

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数据结构作业——expectation（树形dp+dfs）