最长递增子序列是动态规划中经典的问题，详细如下：
在一个已知的序列{a1,a2,...,an}中，取出若干数组组成新的序列{ai1,ai2,...,aim}，其中下标i1,i2,...,im保持递增，即新数列中的各个数之间依旧保持原数列中的先后顺序，那么我们称新的序列{ai1,ai2,...,aim}为原序列的一个子序列。若在子序列中，当下标ix > iy时，aix > aiy，那么我们称这个子序列为原序列的一个递增子序列。最长递增子序列问题，就是在一个给定的原序列中，求得最长递增子序列长度。
有序列{a1,a2,...,an}，我们求其最长递增子序列长度。按照递推求解的思想，我们用F[i]代表若递增子序列以ai结束时它的最长长度。当 i 较小，我们容易直接得出其值，如 F[1] = 1。那么，如何由已经求得的 F[i]值推得后面的值呢？假设，F[1]到F[x-1]的值都已经确定，注意到，以ax 结尾的递增子序列，除了长度为1的情况，其它情况中，ax都是紧跟在一个由 ai(i < x)组成递增子序列之后。要求以ax结尾的最长递增子序列长度，我们依次比较 ax 与其之前所有的 ai(i < x)， 若ai小于 ax，则说明ax可以跟在以ai结尾的递增子序列之后，形成一个新的递 增子序列。又因为以ai结尾的递增子序列最长长度已经求得，那么在这种情况下，由以 ai 结尾的最长递增子序列再加上 ax 得到的新的序列，其长度也可以确定，取所有这些长度的最大值，我们即能得到 F[x]的值。特殊的，当没有ai(i < x)小 于ax， 那么以 ax 结尾的递增子序列最长长度为1。 即F[x] = max{1,F[i]+1|ai<ax && i<x};
例如序列{1,4,3,2,6,5}的最长递增子序列长度的所有F[i]为:
| F[1] （1） | F[2]（4） | F[3]（3） | F[4]（2） | F[5]（6） | F[6]（5） |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
总结一下，求最长递增子序列的递推公式为：
F[1] = 1;
F[i] = max{1,F[j]+1|aj<ai && j<i}
我们可以根据递推公式将算法实现
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXSIZE = ;
const int MIN = ;
int arr[] = { , , , , , };
int F[MAXSIZE];
int main()
{
int maxLen = MIN;
memset(F, , MAXSIZE);
F[] = ;
for (int i = ; i < ; i++)
{
for (int j = ; j < i; j++)
{
if (arr[i] > arr[j] && maxLen < F[j])
{
maxLen = F[j];
}
} F[i] = maxLen + ;
} for (int k = ; k < ; k++)
cout << F[k] << ' ';
cout << endl;
}