Stern-Brocot Tree、伪.GCD 副本
伪.GCD
问题 1：\(f(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n} [\frac{ai+b}{c}]\)
- Case 1: \(a\geq c 或 b\geq c\)：\(f(a,b,c,n) = f(a\%c,b\%c,c,n)+(n+1)[\frac{b}{c}] + \frac{n(n+1)}{2}[\frac{a}{c}]\)
- Case 2: 令 \(m=[\frac{an+b}{c}]\), 有 $f(a,b,c,n) = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{m}[[\frac{ai+b}{c}] \geq j] = \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[[\frac{ai+b}{c}] \geq j+1] = $
- \(= \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai > cj+c-b-1]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1} m - [\frac{cj+c-b-1}{a}]\)
- \(= nm - f(c,c-b-1,a,m-1)\)
问题 2：求 \(\frac{a}{b}<\frac{x}{y}<\frac{c}{d}\)，的最小正整数解 \(y\).
- Case 1:
Stern-Brocot Tree
提问：xxxxxx 问题的答案是 \(\frac{p}{q}\) (\(p \leq 10^6, q \leq 10^5\))，怎么二分？
我觉得我可以二分一个实数 ........ 然后 ....... 睡觉。
做法 solve(a,b,c,d) 在 \([\frac{a}{b},\frac{c}{d}]\) 中寻找答案。
- check 一下 \(\frac{a+c}{b+d}\)。
- 小了的话，沿着 SB 树向右下方突突突。二分求出极小的 \(k\)，使得 \(\frac{a+kc}{b+kd}\) 大于等于正确答案。
solve(a,b,a+kc,b+kd) - 大了的话，沿着 SB 树向右下方突突突。二分求出极小的 \(k\)，使得 \(\frac{ka+c}{kb+d}\) 小于等于正确答案。
solve(ka+c,kb+d,c,d) - 二分次数是 log 级别的，不会证明。
练习
It's a Mod, Mod, Mod, Mod World
做法
- \(\sum_{i=1}^{n} pi\%q = \sum_{i=1}^{n}(pi-q[\frac{pi}{q}]) = \frac{pn(n+1)}{2} - q\sum_{i=1}^{n}[\frac{pi}{q}]\)
做法
- 对于直线 \(y=\frac{a}{b}x\)，点 \((x,y)\) 在路径上，那么 \(\frac{y}{x} \leq \frac{a}{b}, \frac{y+1}{x-1}>\frac{a}{b}\)
化简一下 \(\frac{a(x-1) - b}{b}< y \leq \frac{ax}{b}\) - 不妨设 \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\)，那么有 \(\frac{c(x-1)-d}{d} <y \leq \frac{ax}{b}\)
- \(ans=\sum_{x=1}^{n} [\frac{ax}{b}] - \sum_{x=1}^{n}[\frac{cx-(c+d)}{d}]\)
做法
- 逐位考虑，考虑第 \(b\) 位，我们想知道多少个 \(k\) 使得 \(km\) 在这位上为 1，即 \(km\%(2^b) \geq 2^{b-1}\)。
- \(ans = \frac{[\sum{km\%2^b}] - [\sum km\%2^{b-1}]}{2^{b-1}}\)
太难了
- 把多边形剖成若干个梯形。
- 不会剖简单多边形，被搞得自闭了。
做法
- 用「伪.gcd」check 答案
- SB 树上二分即可。
题意
给 \(x,p\) 求极小的 \(a\) 使得 \(ax\%p<a\)
做法
- 只需寻找最小的 \(k\)，使得 \(kp \leq ax<kp+a\)。
- \(\frac{p}{x} \leq \frac{a}{k} < \frac{p}{x-1}\)。