八皇后问题是一道经典的回溯问题。问题描述如下：皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。如何将8个皇后放在棋盘上（有8*8个方格），使它们谁也不能被吃掉？
看到这个问题，最容易想到的就是遍历穷举法，不过仔细一想，思路虽然非常清晰，但是需要遍历次数太多，时间复杂度很高。那么，我们应该怎么办呢？下面给出算法思路：
算法思想：首先尝试在第一行放置第一个皇后，然后在第二行放置第二个使之与前面的皇后不构成威胁，依此类推。如果发现不能放置下一个皇后，就回溯到上一步，试着将皇后放在其他的位置。最后，或者尝试完所有的可能或者找到解决方案。
这种算法思想与中国的一句古话“不撞南墙不回头”类似：一路向前走，直到走到死胡同，然后往回走，回到上一个岔路口，重新选择一个方向，继续向前走，直到到达目的地。
下面给出了该算法的具体实现，用C、MATLAB、PYTHON分别进行了实现，由于程序给出了比较详细的注释，因此就不对具体程序解释说明了。
C语言实现：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 8//棋盘大小
int matrix[N][N];//存储皇后的位置，其实也可以用一维数组表示
void PrintQueen();//打印棋盘
void PlaceQueen(int row);//放置皇后
int Conflict(int row,int col);//检查当前皇后是否与之前的冲突
int main()
{
PlaceQueen(0);
return 0;
}
void PrintQueen()
{
static int solutionNum=0;//看总共有多少种情况
solutionNum+=1;
int row,col;
printf("第%d种方法：\n",solutionNum);
for(row=0;row<N;row+=1)
{
for(col=0;col<N;col+=1)
{
if(matrix[row][col])
{
printf("* ");
}
else
{
printf("- ");
}
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
int Conflict(int row,int col)
{
for (int m = 0; m <row ; m++)
{
for (int n = 0; n <N; n++)
{
if (matrix[m][n] == 1) // 每一行只有一个皇后
{
if ( n == col || abs(row - m) == abs(col - n) ) // 检查是否与之前的皇后冲突
return false;
}
}
}
return true;
}
void PlaceQueen(int row)
{
if(row>=N)//已经放置了N个皇后
{
PrintQueen();
}
else
{
for(int col=0;col<N;col++)
{
matrix[row][col]=1;
if(row==0||Conflict(row,col))
PlaceQueen(row+1);//递归调用
matrix[row][col]=0;
}
}
}
MATLAB实现
脚本文件Queen.m
clear all clc global solutionNum; solutionNum=0;%全局变量记录方法数 N=8;%皇后个数 matrix=zeros(N);%存储皇后位置信息 PlaceQueen(1,matrix,N)%调用放置方法
函数文件PlaceQueen.m
function PlaceQueen(row,matrix,N)%回溯法放置皇后
if row>N
PrintQueen(N,matrix);%打印棋盘
else
for col=1:N
matrix(row,col)=1;
if row==1||Conflict(row,col,N,matrix)%检测是否冲突
PlaceQueen(row+1,matrix,N);
end
matrix(row,col)=0;
end
end
%子函数：检测冲突
function result=Conflict(row,col,N,matrix)%检测是否冲突
result=1;
for i=1:row-1
for j=1:N
if matrix(i,j)==1
if ((j==col)||(abs(row-i)==abs(col-j)))%是否产生冲突：在同一直线，斜线上
result=0;
break;
end
end
end
if result==0
break;
end
end
%子函数：打印棋盘信息
function PrintQueen(N,matrix)
global solutionNum; %定义全局变量，来累积方法数
solutionNum=solutionNum+1;
disp(['第',num2str(solutionNum),'种方法：'])
disp(matrix)
PYTHON实现：
def conflict(state,nextX):#冲突检测函数
nextY=len(state)
for i in range(nextY):
if abs(state[i]-nextX) in (0,nextY-i):#检测是否在同一直线、斜线
return True
return False
def queens(num=8,state=()): #放置皇后,采用元组state来存储皇后的位置
for pos in range(num):
if not conflict(state,pos):
if len(state)==num-1:
yield (pos,)
else:
for result in queens(num,state+(pos,)):
yield (pos,)+result
for solution in queens(8):
print (solution)
print('总共的方法数为：',len(list(queens(8))))
运行结果分别如下：
1、C语言的运行结果：
2、MATLAB语言的运行结果：
3、PYTHON语言的运行结果：
扩展：
上面的程序中，改变N的值就可以解决N皇后的问题了，但还可以用分治法来解决N皇后的问题，具体参见文献《N皇后问题解的构造和等价性分析》。下面的Matlab程序给出了一个简单的算法过程：
4皇后的一种放置方式：
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
根据4皇后的放置方式可以推导出16皇后的一种放置方式：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
依次类推，可以得到4的幂次皇后的一种放置方式，不过值得注意的是：2、3、8、9、14、15、26、27、38、39这10个N值不能采用这种分治法。
由4皇后直接推出16皇后的Matlab实现如下：
clear all
clc
a4=[ 0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0]
[asize bsize]=size(a4);
a16=zeros(asize^2,bsize^2);
[rowIndex,colIndex]=find(a4);
for i=1:length(rowIndex)
a16((1+asize*(rowIndex(i)-1)):asize*rowIndex(i),(1+asize*(colIndex(i)-1)):asize*colIndex(i))=a4;
end
a16
运行结果如下：
原文：http://blog.****.net/tengweitw/article/details/44648249
作者：nineheadedbird