已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且
\begin{equation*}
x_{n+1}=
\left\{ \begin{aligned}
x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\
x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$
证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$
若$ 0<x_2<\dfrac{\pi}{2} $则$x_3>x_2$,又由单调性得$ 1<x_3<\dfrac{\pi}{2} $故$x_4=x_3+\cos x_3>x_3 $
若$ \dfrac{\pi}{2}\le x_2<\pi $则$ x_3\le x_2 $又由单调性得$ \dfrac{\pi}{2}\le x_3< \pi $故$ x_4=x_3+\sin x_3>x_3 $
综上$ x_4>x_3 $
下面用数学归纳法证明$ x_n\in(0,\pi) $
(1)当$ n=2 $时$ x_2\in(0,\pi) $命题成立
(2)假设当$n=k\ge2$时$ x_k\in(0,\pi) $成立,
那么$ n=k+1 $时,由定义
\begin{equation*}
x_{k+1}=
\left\{ \begin{aligned}
x_k+\sin x_k&,x_k\le x_{k-1}\\
x_k+\cos x_n&,x_k> x_{k-1}
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
利用分段函数每一段上的单调性易知当$ x_k\in(0,\pi) $时$ x_{k+1}\in(0,\pi) $
综上由(1)(2)结合$x_1\in(0,\pi)$知$x_n\in(0,\pi),n\in N^+$
练习:MT【267】
\begin{equation*}
\textbf{已知}x_1,x_2<\pi,x_{n+1}=x_n+\left\{ \begin{aligned}
sin x_n &,x_n>x_{n+1}\\
cos x_n&,x_n\le x_{n+1}\\
\end{aligned} \right.
\end{equation*}
证明:$ x_n<\dfrac{3\pi}{2}$
注:这个练习题让我想起了遇到这题的那个夏天，地点杭州，时间2014，当时带我们学校的学生去参加数学会组织的暑期竞赛培训，结束后，顺道去睿达看望正在授课的陈计老师，两件事让我记忆尤深，第一件是和陈老师睡一间彻夜长谈的情景，第二件是电梯口遇到苏淳老师。苏老师身为宗师级的老前辈，对后辈一点架子都没有。我当时在电梯口等电梯没认出苏老师（这之前平时看苏老师的书算是二维的苏老师，从没见过三维的苏老师），闲聊搭讪时候自我介绍说我也是数学老师，苏老师竟然对我鞠了一躬，笑着说道：老师好！然后另外一个老师过来和苏老师打招呼，我才知道原来他就是大名鼎鼎的苏淳，我赶忙鞠躬致意。后来听苏老师讲组合，上课娓娓道来，思路清晰，让我感觉醍醐灌顶。
MT【319】分段递推数列的更多相关文章
-
The Nth Item 南昌网络赛（递推数列，分段打表）
The Nth Item \[ Time Limit: 1000 ms \quad Memory Limit: 262144 kB \] 题意 给出递推式,求解每次 \(F[n]\) 的值,输出所有 ...
-
Loj 538 递推数列
Loj 538 递推数列 出题人:这题提高难度吧.于是放在了%你赛的 \(D1T2\) . 递推式为 \(a_i=k*a_{i-1}+a_{i-2}\) , 注意到 \(k\in \mathbb{N_ ...
-
九度OJ 1081：递推数列 （递归，二分法）
时间限制:1 秒 内存限制:32 兆 特殊判题:否 提交:6194 解决:864 题目描述: 给定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q.这里n >= 2. 求第 ...
-
HDU4565 So Easy! —— 共轭构造、二阶递推数列、矩阵快速幂
题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4565 So Easy! Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory L ...
-
MT【311】三角递推数列
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right),S_n$ 为$\{a_n\}$的前$n$项和,求 ...
-
九度OJ 1081 递推数列 -- 矩阵二分乘法
题目地址:http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1081 题目描述: 给定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q.这里n >= ...
-
HDU 2842 (递推+矩阵快速幂)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2842 题目大意:棒子上套环.第i个环能拿下的条件是:第i-1个环在棒子上,前i-2个环不在棒子上.每个 ...
-
Re.常系数齐次递推
前言 嗯 我之前的不知道多少天看这个的时候到底在干什么呢 为什么那么.. 可能大佬们太强的缘故 最后仔细想想思路那么的emmm 不说了 要落泪了 唔唔唔 前置 多项式求逆 多项式除法/取模 常 ...
-
MT【307】周期数列
(2017浙江省数学竞赛) 设数列$\{a_n\}$满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2,|a_n|\le2,n\in N^+$证明:如果$a_1$为有理数,则从某项后$\{a_n\}$为周期数列 ...
随机推荐
-
hbase 的体系结构
hbase的服务体系遵从的是主从结构,由HRegion(服务器)-HRegionServer(服务器集群)-HMaster(主服务器)构成, 从图中能看出多个HRegion 组成一个HRegionSe ...
-
Oracle 图形化以及命令行安装
@(Oracle)[Install] Oracle 安装 相关版本说明 不同版本的Oracle需要安装在特定的系统版本之上. 如Oracle 11gR2的11.2.0.1.0需要安装在CentOS 5 ...
-
git更换仓库地址
1. 从原始地址 clone 一份不包含 work copy的仓库: git clone --bare bitbucket_project_address 2. 在os china上创建同名项目. ...
-
JavaScript获取Select下拉框Option的Value和Text值的方法
Js获取select下拉列表框各个Option的Value值相对比较容易,不过获取Text值却有点麻烦,对于一个初学JavaScript的 新手来说,可能一时还无从下手,那么就请看下本文的方法,以一个 ...
-
WPF自学笔记
WPF使用哪几种元素作为顶级元素: 1. Window元素 2. Page元素(与Window元素类似,用于可导航的应用程序) 3. Application元素(定义应用程序资源和启动设置) PS:在 ...
-
NancyFX 第十二章 通道截拦
所有的好的Web框架都有一套好的通道截拦的机制,Nancy在我看来是处理最好的.那什么是请求通道那?下面的图可能说的比较清楚些: 正如名称中描述的,一个典型的Web请求在到达最终响应前会穿过一定数量的 ...
-
Problem : 1012 ( u Calculate e )
/*tips:本题只有输入,没有输出,在线测试只检测结果,所以将前面几个结果罗列出来就OK了.为了格式输出问题纠结了半天,最后答案竟然还是错的....所以啊,做题还是得灵活变通.*/ #include ...
-
Python爬虫入门教程 60-100 python识别验证码，阿里、腾讯、百度、聚合数据等大公司都这么干
常见验证码 之前的博客中已经解决了一些常见验证码的问题,但是验证码是层出不穷的,目前解决验证码除了通过常规手段解决以外,还可以通过人工智能领域的深度学习去解决 深度学习?! 无疑对爬虫coder提高了 ...
-
「luogu2569」[ZJOI2006] 书架
「luogu2569」[ZJOI2006]书架 题目大意 给定一个长度为 \(n\) 序列,序列中第 \(i\) 个元素有编号 \(a_i(a_i \in \Z \cap [1,n])\),需要支持五 ...
-
spark使用udf给dataFrame新增列
在 spark 中给 dataframe 增加一列的方法一般使用 withColumn // 新建一个dataFrame val sparkconf = new SparkConf() .setMas ...